索玛积木（Soma）

题目背景

索玛立方体（Soma cube）是 Piet Hein 发明的一种三维拼图。

整套拼图由七块积木组成。每块积木都是若干单位立方体通过面连接形成的非凸立体：

• 其中六块由 $4$ 个单位立方体组成；
• 另有一块由 $3$ 个单位立方体组成。

因此，七块积木一共包含：

$$6\times 4+3=27$$

个单位立方体。

现在给定一个同样由 $27$ 个单位立方体组成的目标形状，请计算使用全部七块索玛积木拼成该形状的不同方案数。

七块索玛积木

题目使用二维高度矩阵描述三维形状。

矩阵中的每个数字表示：从同一个高度为 $0$ 的平面开始，该位置竖直堆叠了多少个单位立方体。

七块积木分别可以描述为：

111    111    011
100    010    110

以及：

11    02    20    12
10    11    11    01

每个高度矩阵只描述该积木的一种初始朝向。

在拼装时，每块积木均可以：

• 在三维空间中平移；
• 绕任意坐标轴旋转。

但不允许：

• 对积木进行镜像翻转；
• 拆开积木；
• 让不同积木占据同一个单位立方体。

积木之间可以通过面、边或顶点相接。

每一块积木都必须恰好使用一次。

题目描述

给定一个由 $H$ 行、$W$ 列数字组成的高度矩阵 pattern。

第 $i$ 行第 $j$ 列的数字 $p_{i,j}$ 表示：在平面位置 $(i,j)$ 上，从高度 $0$ 开始连续堆叠：

$$p_{i,j}$$

个单位立方体。

也就是说，该位置包含三维坐标：

$$(i,j,0),(i,j,1),\ldots,(i,j,p_{i,j}-1)$$

上的单位立方体。

数字 0 表示该平面位置上没有立方体。

所有数字之和恰好为 $27$。目标形状不一定连通。

你需要把七块索玛积木分别旋转和平移，使得：

1. 每块积木的所有单位立方体都落在目标形状中；
2. 任意两块积木不重叠；
3. 目标形状中的每个单位立方体恰好被一块积木占据；
4. 七块积木全部恰好使用一次。

请计算满足条件的不同拼法数量。

不同方案的定义

在一个合法方案中，可以给目标形状中的每个单位立方体标记一个 $1$ 到 $7$ 的编号，表示占据它的是哪一块积木。

若两个方案中至少有一个目标单位立方体所对应的积木编号不同，则这两个方案不同。

因此：

• 若一块具有旋转对称性的积木被取出、旋转后又放回完全相同的单位立方体集合中，不会产生新的方案；
• 若若干积木重新排列后，目标形状中至少有一个单位立方体改由另一块积木占据，则属于不同方案；
• 即使一种重新排列等价于对整个目标形状进行旋转或镜像，只要在题目给定的固定坐标中，单位立方体与积木编号的对应关系发生变化，也要计为不同方案。

输入格式

第一行包含两个整数 $H,W$，分别表示高度矩阵的行数和列数。

接下来 $H$ 行，每行包含一个长度为 $W$ 的数字字符串，描述目标形状的高度矩阵。

字符串中不包含空格。

输出格式

输出一个整数，表示使用全部七块索玛积木拼成目标形状的不同方案数。

若无法拼成目标形状，输出 0。

数据范围

对于所有测试数据：

• $2\le H\le 27$；
• $2\le W\le 27$；
• 每行均包含恰好 $W$ 个字符；
• 每个字符均为 0 到 9；
• 所有数字之和恰好为 $27$；
• 答案可以使用有符号 $32$ 位整数表示。

样例 1

输入

3 3
333
333
333

输出

11520

解释

目标形状是一个 $3\times3\times3$ 的立方体，共有 $11520$ 种不同拼法。

样例 2

输入

3 3
345
234
123

输出

2800

样例 3

输入

3 3
225
225
225

输出

260

样例 4

输入

3 7
3330000
0033300
0000333

输出

28

样例 5

输入

5 5
33000
03300
00330
00033
00003

输出

92

样例 6

输入

3 8
21111111
21111111
21111111

输出

0

解释

虽然该目标形状同样由 $27$ 个单位立方体组成，但无法使用七块索玛积木拼成。

样例 7

输入

2 2
67
77

输出

1520